Читатель:  У каждой теории имеются границы применимости, за пределами которой она перестаёт работать. Итак, теория вероятности не может объяснить повышенное число самоповторов в последовательности «случайных» чисел, так? Тем не менее, в результатах (пункт 3.) показана справедливость предсказаний теории вероятности.  Например, подтверждены выводы центральной предельной теоремы о том, что сумма случайных чисел стремится к нормальному распределению, а также линейная зависимость величины дисперсии  S ^ k (i) от размера выборки k. Обозначьте границы применимости вероятностного подхода.

Автор:  Как я уже говорил, понятие вероятности может быть введено лишь с ограничениями, например, как среднее. В результате и предсказания теории вероятности хорошо работают для средних значений, в тех случаях, когда как говорят «большая статистика».

Пусть мы взялись наблюдать за каким-то конкретным типом повторов в изучаемых последовательностях. Это будут, например, повторы троек чисел (диаграмма  9-4). Теория вероятности нам предсказывает, что статистика по совпадениям троек чисел постепенно станет всё более равномерной. И в какой-то момент  даже наблюдаемый инверсный повтор (диаграмма 9-4) не будет смотреться «вызывающе». На этом простом примере, видно, что у нас есть выбор: либо ограничиться знанием о средних значениях, которое является неполным, либо попытаться понять закономерности переходного периода от начала до статистически сбалансированной ситуации. Здесь важно понимать, что достижение баланса для разных типов повторов последовательности чисел происходит с различной скоростью. Проиллюстрируем мысль.  Последовательность  S ^ 10 (i)  в серии АР1 демонстрирует нормальное распределение, это установлено. Казалось бы, всё хорошо статистически уравновешено. Но вот посмотрим, как происходит движение к равновесию по очень редким 6-элементным повторам с малыми значениями интервала или расстояния между совпадающими фрагментами (диаграмма 9-6). Расположение таких совпадений очень локализовано, речь идёт о вероятностях  10 ^-4 -  10 ^-5 . Может быть, «просто флуктуация»? Но похожая картина в АР1 наблюдалась и на масштабе 100.  На всех масштабах разворачиваются события по близкому сценарию. В серии АР1 сделано 42 700 испытаний. Много, казалось бы. Но вот перейдем на другой масштаб, как бы в другую систему координат, и там мы имеем дело с последовательностью из всего лишь 85 элементов  S ^ 500 (i). Здесь статистическое равновесие лишь начало формироваться, но картина фантастическая (диаграмма 9-7). Сказать, что есть связь между прошлым и будущим, или что вероятностное описание не является полным, это фактически ничего не сказать. Эта связь очень ясная и прозрачная. Огромные фрагменты последовательностей повторяются с редкой точностью. Увидеть такое и по-прежнему ограничиться языком теории вероятности не думаю, что это возможно.

Читатель: Правильно ли я понимаю, что диаграмма 9-7 является ещё и прекрасной иллюстрацией  пункта 9 из перечня экспериментальных результатов?

Автор: Да, я надеюсь, что станет понятно, что же имелось ввиду. Обратим внимание на повторы G и H (диаграмма 9-7). Это два огромных фрагмента  по 6000 чисел.  Назовём рельефом последовательность плюсов и минусов, где «+» соответствует случаю, когда последующее значение больше предыдущего, а «-» наоборот. Оказывается, что рельеф группировок G и H совпадает и равен  R_G = R_H = { - - + + - - -+ + + - - -}.  Речь идёт о значениях вероятности порядка  10 ^-4 -  10 ^-5 . Но сейчас нас интересует странная деталь. Повтор группировок G и H закончился на 425 эксперименте. Ещё два эксперимента и серия закончилась. Случайно это или нет? Но есть и ещё примеры такой настораживающей корреляции (диаграммы 9-8, 9-9, 9-10). Что же за этим стоит? Порассуждаем на тему, кто кого контролировал в этих исследованиях: экспериментатор,  остановивший исследования после 427 экспериментов, или решение экспериментатора  закончить серию каким-то образом обусловлено фактом завершения повтора? Тот факт, что цифра 427 совсем некруглая, подсказывает, что нас проконтролировали, а мы и не заметили. И это вторая иллюзия, с которой рано или поздно ученым придется расстаться. Процессы на масштабах мелких подробностей нас могут контролировать. Кстати, об этом говорят и результаты анализа данных по официальной статистике. Но об этом речь пойдёт чуть ниже.

В социальной сети "В контакте" идет обсуждение книги в группе "Скрытая структура хаоса" http://vkontakte.ru/club31385266. Присоединяйтесь!